การคำนวณหาแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดในคานแบบง่ายด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์แบบกระเป๋า อ่าน 20,822

การคำนวณหาแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดในคานแบบง่าย วิเคราะห์โครงสร้าง

ด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์แบบกระเป๋า

บทนำ

บทความนี้จะอธิบายและแสดงโปรแกรมคอมพิวเตอร์ สำหรับใช้ในการคำนวณค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดในคานแบบง่าย (Simple Beam) ซึ่งดัดแปลงมาจากโปรแกรมคอมพิวเตอร์ในหนังสือ Strength of Materials แต่งโดย William A Nash โดยมีวัตถุประสงค์คือ

1. เพื่อแสดงแนวคิดและขั้นตอนวิธี (Algorithm) ในการนำงานที่ใช้การคำนวณด้วยมือไปเป็นการคำนวณด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ได้

2. เพื่อให้นักศึกษามีโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่สามารถ ใช้กับเครื่องคอมพิวเตอร์แบบกระเป๋า (Pocket Computer) เช่น รุ่น FX ของ
คาสิโอ (Casio) หรือรุ่น PC ของชาร์ป (Sharp) ซึ่งทำให้สามารถตรวจคำตอบผลลัพธ์จากการคำนวณด้วยมือได้ด้วยตนเอง

3. ช่วยเสริมความเข้าใจของนักศึกษา ในการศึกษาวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม เช่น วิชากลศาสตร์วิศวกรรม (Engineering Mechanics) วิชาความแข็งแรงของวัสดุ (Strength of Materials)วิชาทฤษฎีโครงสร้าง (Theory of Structures) เป็นต้น

4. เป็นแนวทางในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ทางด้านวิศวกรรมชั้นสูงต่อไป

ขอบเขตและแนวคิดของโปรแกรม

โปรแกรมคอมพิวเตอร์นี้ สามารถใช้วิเคราะห์หาแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดในคาน เมื่อรับน้ำหนักบรรทุกแบบต่างๆเหล่านี้คือ แบบกระทำเป็นจุด (Point Load) แบบโมเมนต์ และแบบแผ่กระจาย (Distributed Load) เชิงเส้นทั้งที่สม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ อนึ่งแรงปฏิกิริยาถือว่าเป็นน้ำหนักกระทำเป็นจุดด้วย

แนวคิดคือเเบ่งคานออกเป็นชิ้นส่วนย่อย (Segment) ซึ่งด้านซ้ายและด้านขวาของชิ้นส่วนย่อยเรียกว่าตำแหน่ง (Location) ดังภาพที่ 1

แนวทางการแบ่งชิ้นส่วนใดๆนั้น จะพิจารณาจากที่ว่ามีการเปลี่ยนแปลงของน้ำหนักบรรทุกที่กระทำ ณ ตำแหน่งนั้นหรือไม่เป็นหลัก และเนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้จากโปรแกรม จะเป็นผลจากแต่ละตำแหน่งด้านซ้ายและด้านขวา ดังนั้นสิ่งที่พิจารณาในการแบ่งชิ้นส่วนย่อย อีกสิ่งหนึ่งคือ เราต้องการค่าของจุดใดบนคาน ก็กำหนดตำแหน่งที่จุดนั้นด้วย

ทิศทาง

ทิศทางที่เป็นบวกของน้ำหนักบรรทุกแสดงดังภาพที่ 2

และทิศทางที่เป็นบวกของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด ดังภาพที่ 3

ขั้นตอนวิธีในการคำนวณ

กำหนดสัญลักษณ์ของตัวแปรดังนี้

N = จำนวนชิ้นส่วนย่อยของคานแบบง่าย

S(I) = ความยาวของแต่ละชิ้นส่วนย่อย I พิจารณาจากชิ้นส่วนซ้ายไปขวา โดย I มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง N

N1 = จำนวนของน้ำหนักบรรทุกกระทำเป็นจุด (รวมทั้งแรงปฏิกิริยา)

P(I1) = น้ำหนักบรรทุกกระทำเป็นจุดที่ตำแหน่ง I1 โดย I1 มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง N1

N2 = จำนวนของโมเมนต์ที่กระทำบนคาน

E(L) = โมเมนต์คู่ควบที่ตำแหน่ง L โดย L มีค่าตั้งแต่ 1ถึง N2

N3 = จำนวนชิ้นส่วนย่อยที่รับน้ำหนักบรรทุกกระจาย

D(N4,1) = ขนาดของน้ำหนักบรรทุกกระจายด้านซ้ายของตำแหน่ง N4 โดย N4 มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง N3

D(N4,2) = ขนาดของน้ำหนักบรรทุกกระจายด้านขวาของตำแหน่ง N4 โดย N4 มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง N3

V(I,1) = แรงเฉือนด้านซ้ายของตำแหน่ง I โดย I มีค่าตั้งแต่ 1ถึง N+1

V(I,2) = แรงเฉือนด้านขวาของตำแหน่ง I โดย I มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง N+1

M(I,1) = โมเมนต์ดัดด้านซ้ายของตำแหน่ง I โดย I มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง N+1

M(I,2) = โมเมนต์ดัดด้านขวาของตำแหน่ง I โดยที่ I มี่ค่าตั้งแต่ 1 ถึง N+1

พิจารณาแผนภาพวัตถุอิสระ (Free-body Diagram) ของชิ้นส่วนย่อยที่ 1 นับจากปลายซ้ายของคานดังภาพที่ 4

จะได้ว่า

V(1,1) = 0 = M(1,1) (เพราะถือว่าเริ่มที่ด้านขวามือของตำแหน่งที่ 1)

V(1,2) = P(1)

M(1,2) = -E(1)

V(2,1) = V(1,2) + [D(1,1)+D(1,2)]*S(1)/2

M(2,1) = M(1,2) + V(1,2)*S(1) + (2*D(1,2)+D(1,1))*S(1)²/6

พิจารณาแผนภาพวัตถุอิสระของชิ้นส่วนย่อยที่ 2 ดังภาพที่ 5

จะได้ว่า

V(2,2) = V(2,1) + P(2)

M(2,2) = M(2,1) + E(2)

V(3,1) = V(2,2) + [D(2,1)+D(2,2)]*S(2)/2

M(3.1) = M(2,2) + V(2,2)*S(2) + [2*D(2,2)+D(2,1)]*S(2)²/6

สำหรับชิ้นส่วนย่อยอื่นๆ ถึงชิ้นส่วนย่อยที่ N ก็คำนวณในทำนองเดียวกันนี้ ซึ่งจะเห็นว่าเราสามารถเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยในการคำนวณโดยใช้การวนซ้ำ (Loop) ช่วงชิ้นส่วนย่อย จะสามารถคำนวณค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดทั้งหมดได้

ขั้นตอนวิธีในการหาค่าสูงสุด

เราสามารถเขียนโปรแกรมให้เลือกขนาด (Magnitude) ของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดสูงสุดได้ โดยมีขั้นตอนวิธีดังนี้

1. กำหนดตัวแปร VM และ MM คือ ขนาดของแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดสูงสุดตามลำดับ

2. ให้ VM เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของแรงเฉือนลำดับแรกคือ V(1,2) และ MM เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของโมเมนต์ดัดลำดับแรกคือ M(1,2) (ที่ใช้ค่าสัมบูรณ์เพราะแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดเป็นได้ทั้งค่าบวกและลบ ซึ่งเป็นเครื่องหมายแสดงทิศทาง เมื่อหาเฉพาะขนาด จึงไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย)

3. วนซ้ำ I = 1 ถึง N โดยที่ N คือจำนวนชิ้นส่วยย่อยทั้งหมด (ABS หมายถึง ค่าสัมบูรณ์)

ถ้า VM < ABS(V(I+1,1)) ให้ VM = ABS(V(I+1,1))

ถ้า VM < ABS(V(I+1,2)) ให้ VM = ABS(V(I+1,2))

ถ้า MM < ABS(M(I+1,1)) ให้ MM = ABS(M(I+1,1))

ถ้า MM < ABS(M(I+1,2)) ให้ MM = ABS(M(I+1,2))

รายละเอียดของโปรแกรมส่วนนี้ คือบรรทัดที่ 360 ถึง 420 ในรายละเอียด (Listing) ของโปรแกรมคอมพิวเตอร์

โปรแกรมคอมพิวเตอร์

โปรแกรมคอมพิวเตอร์นี้ เขียนขึ้นโดยใช้ภาษาเบสิก (BASIC) บนเครื่องคอมพิวเตอร์แบบกระเป๋าของชาร์ป รุ่น PC-1500A โดยกำหนดให้จำนวนชิ้นส่วนย่อยสูงสุดได้ 20 ชิ้นส่วน ดังนั้นจำนวนตำแหน่งสูงสุดจึงเท่ากับ 21 ตำแหน่ง มีรายละเอียดของโปรแกรมดังนี้

10:²A²:CLEAR

20:PAUSE ²SHEAR FORCE²

30:PAUSE ²AND BENDING MOMENT²

40:DIM S(20),P(21),E(21),D(20,2),V(21,2),M(21,2)

50:INPUT ²NUMBER OF SEGMENTS: ²;N

60:PAUSE ²LENGTH OF EACH SEGMENT²

70:PAUSE ²FROM LEFT TO RIGHT²

80:FOR I=1TO N

85:PRINT ²SEGMENT ²+STR$ I

90:INPUT ²S = ²;S(I)

100:NEXT I

110:INPUT ²NO. OF POINT LOADS: ²;N1

120:FOR I=1TO N1

130:INPUT ²LOCATION: ²;I1

140:INPUT :²LOAD: ²;P(I1)

150:NEXT I

160:INPUT ²NO. OF EXT. MOMENTS: ²;N2

170:FOR I=1TO N2

180:INPUT ²LOCATION: ²;L

190:INPUT ²MOMENT: ²;E(L)

200:NEXT I

210:INPUT ²NO. OF DIST. LOAD SEG. ²;N3

220:FOR I=1TO N3

230:INPUT ²SEGMENT NO.: ²;N4

240:INPUT ²LOAD LEFT: ²;D(N4,1)

250:INPUT ²LOAD RIGHT: ²;D(N4,2)

260:NEXT I

270:V(1,2)=P(1)

280:M(1,2)=-E(1)

290:FOR I=1TO N

300:V(I+1,1)=V(I,2)+(D(I,1)+D(I,2))*S(I)/2

310:V(I+1,2)=V(I+1,1)+P(I+1)

320:T2=((2*D(I,1)+D(I,2))*S(I)^2)/6

330:M(I+1,1)=M(I,2)+V(I,2)*S(I)+T2

340:M(I+1,2)=M(I+1,1)-E(I+1)

350:NEXT I

360:VM=ABS (V(1,2))

365:MM=ABS (M(1,2))

370:FOR I=1TO N

380:IF VM(V(I+1,1))LET VM=ABS (V(I+1,1))

390:IF VM(V(I+1,2))LET VM=ABS (V(I+1,2))

400:IF MM(M(I+1,1))LET MM=ABS (M(I+1,1))

410:IF MM(M(I+1,2))LET MM=ABS (M(I+1,2))

420:NEXT I

430:FOR I=1TO N+1

440:PRINT ²LOCATION ²+STR$ I

450:PRINT ²SHEAR LEFT = ²+STR$ V(I,1)

460:PRINT ²SHEAR RIGHT = ²+STR$ V(I,2)

470:PRINT ²MOMENT LEFT = ²+STR$ M(I,1)

480:PRINT ²MOMENT RIGHT = ²+STR$ M(I,2)

490:NEXT I

500:PRINT "Vmax.(mag.) = "+STR$ VM

510:PRINT "Mmax.(mag.) = "+STR$ MM

520:END

ตัวอย่างการคำนวณ

คานแบบง่ายรับน้ำหนักบรรทุกดังภาพที่ 6

จากการคำนวณด้วยมือ สามารถเขียนแผนภาพแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดได้ดังภาพที่ 7

ในการกำหนดข้อมูลป้อนเข้า (Input) ของโปรแกรม มีข้อพิจารณาคือ กำหนดตำแหน่งซึ่งมีน้ำหนักบรรทุกกระทำ และตำแหน่งที่ต้องการทราบค่าแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด จึงกำหนดดังภาพที่ 8